江苏省无锡市2007年初中毕业高级中等学校招生考试数学试卷
注意事项:
1.本试卷满分130分,考试时间为120分钟.
2.卷中除要求近似计算的结果取近似值外,其余各题均应给出精确结果.
一、细心填一填(本大题共有12小题,15空,每空2分,共30分.请把结果直接填在题中的横线上.只要你理解概念,仔细计算,相信你一定会填对的!)
1. 的相反数是 , 的算术平方根是 .
2.分解因式: .
3.设一元二次方程 的两个实数根分别为 和 ,则 , .
4.据国家考试中心发布的信息,我国今年参加高考的考生数达10 100 000人,这个数据用科学记数法可表示为 人.
5.函数 中自变量 的取值范围是 ,
函数 中自变量 的取值范围是 .
6.某商场今年五月份的销售额是200万元,比去年五月份销售额的2倍少40万元,那么去年五月份的销售额是 万元.
7.反比例函数 的图象经过点 ,则 的值为 .
8.八边形的内角和为 度.
9.如图,已知 , ,则 .
10.如图, 是 的弦, 于 ,若 , ,则 的半径长为 .
11.写出生活中的一个随机事件: .
12.如图1是一种带有黑白双色、边长是 的正方形装饰瓷砖,用这样的四块瓷砖可以拼成如图2的图案.已知制作图1这样的瓷砖,其黑、白两部分所用材料的成本分别为 元/ 和 元/ ,那昌带么制作这衫陆样一块瓷砖所用黑白材料的最低成本是 元( 取 ,结果精确到 元).
图1 图2
二、精心选一选(本大题共有7小题,每小题3分,共21分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确选项前的字母代号填在题后的括号内.只要你掌握概念,认真思考,相信你一定会选对的!)
13.化简分式 的结果为( )
A. B. C. D.
14.下面与 是同类二次根式的是( )
A. B. C. D.
15.下面四个图案中,是旋转对称图形的是( )
A. B. C. D.
16.一元二次方程 的解是( )
A. , B. ,
C. , D. ,
17.圆锥的底面半径为 ,母线长为 ,则它的侧面积为( )
A. B. C. D.
18.如图是一个圆柱体和一长方体组成的几何体,圆柱的下底面紧贴在长方体的上底面上,那么这个几何体的俯视图为( )
上面
19.任何一个正整数 都可以进行这样的分解: ( 是正整数,且 ),如果 在 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最耐塌芦小,我们就称 是 的最佳分解,并规定: .例如18可以分解成 , , 这三种,这时就有 .给出下列关于 的说法:(1) ;(2) ;(3) ;(4)若 是一个完全平方数,则 .其中正确说法的个数是( )
A. B. C. D.
三、认真答一答(本大题共有8小题,共60分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程.只要你积极思考,细心运算,你一定会解答正确的!)
20.(本题共2小题,第(1)小题4分,第(2)小题6分,满分10分)
(1)计算: ;
(2)解不等式组 并写出它的所有整数解.
21.(本小题满分7分)
如图,已知四边形 是菱形,点 分别是边 , 的中点.求证: .
22.(本小题满分6分)
如图, 是 的直径, 切 于 , 交 于 ,连 .若 ,求 的度数.
23.(本小题满分8分)
如图是甲、乙两人在一次射击比赛中击中靶的情况(击中靶中心的圆面为10环,靶中各数字表示该数所在圆环被击中所得的环数)每人射击了6次.
(1)请用列表法将他俩的射击成绩统计出来;
(2)请你用学过的统计知识,对他俩的这次射击情况进行比较.
24.(本小题满分6分)
某商场搞摸奖促销活动:商场在一只不透明的箱子里放了三个相同的小球,球上分别写有“10元”、“20元”、“30元”的字样.规定:顾客在本商场同一日内,每消费满100元,就可以在这只箱子里摸出一个小球(顾客每次摸出小球看过后仍然放回箱内搅匀),商场根据顾客摸出小球上所标金额就送上一份相应的奖品.现有一顾客在该商场一次性消费了235元,按规定,该顾客可以摸奖两次,求该顾客两次摸奖所获奖品的价格之和超过40元的概率.
25.(本小题满分6分)
图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案,最上面一层有一个圆圈,以下各层均比上一层多一个圆圈,一共堆了 层.将图1倒置后与原图1拼成图2的形状,这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为 .
图1 图2 图3 图4
如果图1中的圆圈共有12层,(1)我们自上往下,在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数 ,则最底层最左边这个圆圈中的数是 ;(2)我们自上往下,在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数 , , , ,求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和.
26.(本小题满分9分)
小明早晨从家里出发匀速步行去上学,小明的妈妈在小明出发后10分钟,发现小明的数学课本没带,于是她带上课本立即匀速骑车按小明上学的路线追赶小明,结果与小明同时到达学校.已知小明在整个上学途中,他出发后 分钟时,他所在的位置与家的距离为 千米,且 与 之间的函数关系的图像如图中的折线段 所示.
(1)试求折线段 所对应的函数关系式;
(2)请解释图中线段 的实际意义;
(3)请在所给的图中画出小明的妈妈在追赶小明的过程中,她所在位置与家的距离 (千米)与小明出发后的时间 (分钟)之间函数关系的图像.(友情提醒:请对画出的图像用数据作适当的标注)
27.(本小题满分8分)
王大伯要做一张如图1的梯子,梯子共有8级互相平行的踏板,每相邻两级踏板之间的距离都相等.已知梯子最上面一级踏板的长度 ,最下面一级踏板的长度 .木工师傅在制作这些踏板时,截取的木板要比踏板长,以保证在每级踏板的两个外端各做出一个长为4cm的榫头(如图2所示),以此来固定踏板.现市场上有长度为2.1m的木板可以用来制作梯子的踏板(木板的宽厚和厚度正好符合要制作梯子踏板的要求),请问:制作这些踏板,王大伯最少需要买几块这样的木板?请说明理由.(不考虑锯缝的损耗)
四、实践与探索(本大题共2小题,满分19分.只要你开动脑筋,大胆实践,勇于探索,你一定会成功!)
28.(本小题满分10分)
如图,平面上一点 从点 出发,沿射线 方向以每秒1个单位长度的速度作匀速运动,在运动过程中,以 为对角线的矩形 的边长 ;过点 且垂直于射线 的直线 与点 同时出发,且与点 沿相同的方向、以相同的速度运动.
(1)在点 运动过程中,试判断 与 轴的位置关系,并说明理由.
(2)设点 与直线 都运动了 秒,求此时的矩形 与直线 在运动过程中所扫过的区域的重叠部分的面积 (用含 的代数式表示).
29.(本小题满分9分)
(1)已知 中, , ,请画一条直线,把这个三角形分割成两个等腰三角形.(请你选用下面给出的备用图,把所有不同的分割方法都画出来.只需画图,不必说明理由,但要在图中标出相等两角的度数)
(2)已知 中, 是其最小的内角,过顶点 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形,请探求 与 之间的关系.
[参考答案]
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一、细心填一填(本大题共有12小题,15空,每空2分,共30分)
1.5,3 2. 3.6,4 4. 5.
6. 7. 8.1080 9.110 10.
11.明天我市下雨(答案不唯一) 12.6.37
二、精心选一选(本大题共有7个小题,每小题3分,共21分)
13.A 14.C 15.D 16.B 17.A 18.C 19.B
三、认真答一答(本大题共有8小题,共60分)
20.解:(1)原式 3分
. 4分
(2)由 ,得 . 2分
由 ,得 . 4分
不等式组的解集是 . 5分
它的所有整数解为 . 6分
21.证明:菱形 中, . 1分
分别是 的中点,
. 3分
又 , . 5分
. 7分
22.解: 切 于 是 的直径, . 2分
, . 4分
. 6分
23.(1)解:
环数 6 7 8 9 10
甲命中次数 2 2 2
乙命中次数 1 3 2
列表正确得2分.
(2) 环, 环, , 6分(算对一个得1分)
, , 甲与乙的平均成绩相同,但甲发挥的比乙稳定. 8分
24.解:列树状图如下:
第一次摸得奖品价格 10 20 30
第二次摸得奖品价格 10 20 30 10 20 30 10 20 30 4分
两次奖品价格之和 20 30 40 30 40 50 40 50 60
两次摸奖结果共有9种情况,其中两次奖品价格之和超过40元的有3种情况,故所求概率为 . 6分
25.解:(1)67. 2分
(2)图4中所有圆圈中共有 个数,
其中23个负数,1个0,54个正数, 4分
图4中所有圆圈中各数的绝对值之和
. 6分
26.解:(1)线段 对应的函数关系式为: ( ) 2分
线段 对应的函数关系式为: . 4分
(2)图中线段 的实际意义是:小明出发12分钟后,沿着以他家为圆心,1千米为半径的圆弧形道路上匀速步行了8分钟. 7分
(3)如图中折线段 . 9分
27.解法一:如图,设自上往下第2,3,4,5,6,7级踏板的
长依次为 , ,…, ,过 作 的平行线分别
交 , ,…, 于点 , ,…, .
每两级踏板之间的距离相等, ,
. , , ,
, , , ,
2分
设要制作 , ,…, , 这些踏板需用木板的长度分别为 , ,…, ,则 , , , , , , , . 5分
,
王大伯买的木板肯定不能少于3块. 6分
又 , ,
,
王大伯最少买3块这样的木板就行了. 8分
解法二:如图,分别取 , 的中点 ,
连结 .
设自上往下第2,3,4,5,6,7级踏板的长依次为
, ,…, ,则由梯形中位线定理
可得 . 2分
,
. 3分
设要制作 , ,…, , 这些踏板需用木板的长度为
, ,…, ,则 .
, 王大伯买的木板肯定不能少于3块.
4分
过 作 的平行线分别交 , , , 于点 , , , .
每两级踏板之间的距离相等, ,
. , , ,
, , , ,
6分
.而 , , ,
, .
王大伯最少买3块这样的木板就行了. 8分
解法三:如果在梯子的下面再做第9级踏板,它与其上
面一级踏板之间的距离等于梯子相邻两级踏板之间的距
离(如图),设第9级踏板的长为 cm,则由梯形中位
线的性质,可得第5级踏板的长 ,
第7级踏板的长 ,由题意,得第8级踏板的长 ,解这个方程,得 ,
2分
由此可求得 cm, , , , , .
设要制作 , ,…, , 这些踏板需截取的木板长度分别为 , ,…, ,则 , , , , , , , . 5分
(下同解法一)
四、实践与探索(本大题共2小题,满分19分)
28.解:(1) 轴. 1分
理由: 中, , . 2分
设 交 于点 ,交 轴于点 , 矩形的对角线互相平分且相等,则 ,
,过点 作 轴于 ,则 , , , , 轴. 3分
(2)设 在运动过程中与射线 交于点 ,过点 且垂直于射线 的直线交 于点 ,过点 且垂直于射线 的直线交 于点 ,则 .
, , , , .
4分
①当 ,即 时, . 6分
②当 ,即 时,设直线 交 于 ,交 于 ,则 , , ,
. 8分
③当 ,即 时, ,
………………………………………………10分
29.解:(1)如图(共有2种不同的分割法,每种1分,共2分)
(2)设 , ,过点 的直线交边 于 .在 中,
①若 是顶角,如图1,则 ,
, .
此时只能有 ,即 ,
,即 . 4分
②若 是底角,则有两种情况.
第一种情况:如图2,当 时,则 ,
中, , .
1 .由 ,得 ,此时有 ,即 . 5分
2 .由 ,得 ,此时 ,即 .
6分
3 .由 ,得 ,此时 ,即 , 为小于 的任意锐角. 7分
第二种情况,如图3,当 时, , ,此时只能有 ,
从而 ,这与题设 是最小角矛盾.
当 是底角时, 不成立. 9分