2013全国高考数学10题

D

这是类似一题的解析已知椭圆E： x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，-1），则E的方程为（　　）
设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得
x21a2+y21b2=1x22a2+y22b2=1
，利用“点差法”可得
x1+x2a2
+
y1-y2x1-x2
•
y1+y2b2
=0．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=-2，利用斜率计算公式可得kAB=
y1-y2x1-x2
=
-1-01-3
=
12
．于是得到
2a2
+
12
×
-2b2
=0，化为a2=2b2，再利用c=3=
a2-b2
，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得x21a2+y21b2=1x22a2+y22b2=1，
相减得x21-x22a2+y21-y22b2=0，∴x1+x2a2+y1-y2x1-x2•y1+y2b2=0．
∵x1+x2=2，y1+y2=-2，kAB=y1-y2x1-x2=-1-01-3=12．
∴2a2+12×-2b2=0，
化为a2=2b2，又c=3=a2-b2，解得a2=18，b2=9．
∴椭圆E的方程为x218+y29=1．
故选D．