2012海南高考数学（理）12题的解法

楼上思路和结果完全正确，只是过程中有点小问题：
g(x)=x-e^x/2，那么g'(x)=1-e^x/2，当g'(x)=0时，x=ln2，当x=ln2时，函数g(x)取得最大值g(ln2)=ln2-1,而不是最小值
以下是完整过程：
解析：∵点P在曲线瞎腔型y=1/2e^x 上，点Q在曲线y=ln(2x)上
函数y=1/2e^x与函数y=ln(2x)互为反函数
∴它们的图像关于直线y=x对称
点P(x,1/2e^x)到直线y=x的距离为：
D=|x-y|/√2=|x-1/2e^x|/√2
设f(x)=(x-1/2e^x)/√2
令f’(x)=(1-1/2e^x)/√2=0==>e^x=2==>x=ln2
f’’磨猜(x)=(-1/2e^x)/√2==>f”(ln2)=-√2/2<0
∴f(x)在x=ln2处取极大值(ln2-1)√2/2
∴点P(x,1/2e^x)到直线y=x的最小距离为：(1-ln2)√2/圆芹2
∴|pQ|最小值为2*(1-ln2)√2/2=(1-ln2)√2
选择B

题中森宽圆给的两个函数刚好互为反函数，所以求最此塌短距离实际也就是求第一个函巧迹数到y=x（原函数与反函数的图像关于y=x对称）的最短距离的2倍，设第一个函数上的点的坐标为(x,e^x/2)，用点到直线的距离公式求出(x,e^x/2)到x-y=0的距离为|x-e^x/2|/√2，设g(x)=x-e^x/2，那么g'(x)=1-e^x/2，当g'(x)=0时，x=ln2当x=ln2时取得最小值，把x=ln2回到|x-e^x/2|/√2=(1-ln2)/√2，因为最短距离是此距离的2倍，最后结果为√2(1-ln2)