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2007年普通高等学校卜槐招生全国统一考试
海南理科数学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第II卷第22题为选考题，其他题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．
5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
参考公式：
样本数据 ， ， ， 的标准差 锥体体积公式

其中 为样本平均数 其中 为底面面积、 为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式
，
其中 为底面面积， 为高 其中 为球的半径
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知命题 ， ，则（　　）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．已知平面向量 ，则向量 （　　）
A． B．
C． D．

3．函数 在区间 的简图是（　　）

4．已知 是等差数列， ，其前10项和 ，则其公差 （　　）
A． B． C． D．
5．如果执行右面的程序框图，那么输出的 （　　）
A．2450 B．2500
C．2550 D．2652
6．已知抛物线 的焦点为 ，
点 ， 在抛物线上悔粗，
且 ， 则有（　　）
A． B．
C． D．
7．已知 ， ， 成等差数列， 成等比数列，则 的最小值是（　　）
A． B． C． D．

8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（　　）
A．
B．
C．
D．
9．若 ，则 的值为（　　）
A． B．
C． D．
10．曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（　　）
A． B． C． D．
11．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表
甲的成绩
环数 7 8 9 10
频数 5 5 5 5
乙的成绩
环数 7 8 9 10
频数 6 4 4 6
丙的成绩
环数 7 8 9 10
频数 4 6 6 4
分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（　　）
A． B．
C． D．
12．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为 ， ， ，则 （　　）
A． B． C． D．

第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－第21题为必考题，每个试题型前友考生都必须做答，第22题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为　　　　　．
14．设函数 为奇函数，则 　　　　．
15． 是虚数单位， 　　　　　．（用 的形式表示， ）
16．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种．（用数字作答）
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
如图，测量河对岸的塔高 时，可以选与塔底 在同一水平面内的两个测点 与 ．现测得 ，并在点 测得塔顶 的仰角为 ，求塔高 ．

18．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥 中，侧面 与侧面 均为等边三角形， ， 为 中点．
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值．

19．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系 中，经过点 且斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交点 和 ．
（I）求 的取值范围；
（II）设椭圆与 轴正半轴、 轴正半轴的交点分别为 ，是否存在常数 ，使得向量 与 共线？如果存在，求 值；如果不存在，请说明理由．

20．（本小题满分12分）
如图，面积为 的正方形 中有一个不规则的图形 ，可按下面方法估计 的面积：在正方形 中随机投掷 个点，若 个点中有 个点落入 中，则 的面积的估计值为 ，假设正方形 的边长为2， 的面积为1，并向正方形 中随机投掷 个点，以 表示落入 中的点的数目．
（I）求 的均值 ；
（II）求用以上方法估计 的面积时， 的面积的估计值与实际值之差在区间 内的概率．
附表：

21．（本小题满分12分）
设函数
（I）若当 时， 取得极值，求 的值，并讨论 的单调性；
（II）若 存在极值，求 的取值范围，并证明所有极值之和大于 ．
22．请考生在 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22．A（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，已知 是 的切线， 为切点， 是 的割线，与 交于 两点，圆心 在 的内部，点 是 的中点．
（Ⅰ）证明 四点共圆；
（Ⅱ）求 的大小．

22．B（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
和 的极坐标方程分别为 ．
（Ⅰ）把 和 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求经过 ， 交点的直线的直角坐标方程．

22．C（本小题满分10分）选修 ；不等式选讲
设函数 ．
（I）解不等式 ；
（II）求函数 的最小值．
2007年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案（宁夏）

一、选择题
1．C 2．D 3．A 4．D 5．C 6．C
7．D 8．B 9．C 10．D 11．B 12．B
二、填空题
13． 14． 15． 16．240
三、解答题
17．解：在 中， ．
由正弦定理得 ．
所以 ．
在 中， ．
18．证明：
（Ⅰ）由题设 ，连结 ， 为等腰直角三角形，所以 ，且 ，又 为等腰三角形，故 ，且 ，从而 ．
所以 为直角三角形， ．
又 ．
所以 平面 ．
（Ⅱ）解法一：
取 中点 ，连结 ，由（Ⅰ）知 ，得 ．
为二面角 的平面角．
由 得 平面 ．
所以 ，又 ，
故 ．
所以二面角 的余弦值为 ．
解法二：
以 为坐标原点，射线 分别为 轴、 轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系 ．
设 ，则 ．
的中点 ， ．
．
故 等于二面角 的平面角．
，
所以二面角 的余弦值为 ．
19．解：（Ⅰ）由已知条件，直线 的方程为 ，
代入椭圆方程得 ．
整理得 　　　①
直线 与椭圆有两个不同的交点 和 等价于 ，
解得 或 ．即 的取值范围为 ．

（Ⅱ）设 ，则 ，
由方程①， ．　　　②
又 ．　　　　③
而 ．
所以 与 共线等价于 ，
将②③代入上式，解得 ．
由（Ⅰ）知 或 ，故没有符合题意的常数 ．

20．解：
每个点落入 中的概率均为 ．
依题意知 ．
（Ⅰ） ．
（Ⅱ）依题意所求概率为 ，

．

21．解：
（Ⅰ） ，
依题意有 ，故 ．
从而 ．
的定义域为 ，当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
从而， 分别在区间 单调增加，在区间 单调减少．
（Ⅱ） 的定义域为 ， ．
方程 的判别式 ．
（ⅰ）若 ，即 ，在 的定义域内 ，故 的极值．
（ⅱ）若 ，则 或 ．
若 ， ， ．
当 时， ，当 时， ，所以 无极值．
若 ， ， ， 也无极值．
（ⅲ）若 ，即 或 ，则 有两个不同的实根 ， ．

当 时， ，从而 有 的定义域内没有零点，故 无极值．
当 时， ， ， 在 的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知 在 取得极值．
综上， 存在极值时， 的取值范围为 ．
的极值之和为
．
22．A
（Ⅰ）证明：连结 ．
因为 与 相切于点 ，所以 ．
因为 是 的弦 的中点，所以 ．
于是 ．
由圆心 在 的内部，可知四边形 的对角互补，所以 四点共圆．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 四点共圆，所以 ．
由（Ⅰ）得 ．
由圆心 在 的内部，可知 ．
所以 ．
22．B
解：以极点为原点，极轴为 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．
（Ⅰ） ， ，由 得 ．
所以 ．
即 为 的直角坐标方程．
同理 为 的直角坐标方程．

（Ⅱ）由 解得 ．
即 ， 交于点 和 ．过交点的直线的直角坐标方程为 ．
22．C解：
（Ⅰ）令 ，则
．．．．．．．．．．．．．．．3分
作出函数 的图象，它与直线 的交点为 和 ．
所以 的解集为 ．
（Ⅱ）由函数 的图像可知，当 时， 取得最小值 ．